यदि समीकरण निकाय $kx + y + 2z = 1$,$3x - y - 2z = 2$,और $-2x - 2y - 4z = 3$ के अनंत हल हैं,तो $k$ का मान .......... है।

$\alpha$ के वास्तविक मानों का समुच्चय जिसके लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली
$\begin{aligned}
& x+(\sin \alpha) y+(\cos \alpha) z=0 \\
& x+(\cos \alpha) y+(\sin \alpha) z=0 \\
& -x+(\sin \alpha) y-(\cos \alpha) z=0
\end{aligned}$
का एक गैर-तुच्छ हल है, वह है

यदि $AX = B$ के लिए,$B = \begin{bmatrix} 9 \\ 52 \\ 0 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -4 & \frac{3}{4} & \frac{5}{4} \\ 2 & -\frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \end{bmatrix}$ है,तो $X$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\beta$ एक वास्तविक संख्या है। आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। यदि $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है,तो $9\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6$,$x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 9$,और $2x_1 + 5x_2 + ax_3 = b$ संगत है और इसके अनंत हल हैं,तो:

मान लीजिए $X = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$ है। यदि $AX = B$ है,तो $2a - 3b + 4c$ का मान ज्ञात कीजिए।